مجموعه اعداد

مجموعه ی اعداد

مجموعه ی اعداد طبیعی

\dpi{200} \mathbb{N}=\left \{ 1,2,3,4,... \right \}

مجموعه اعداد حسابی

\dpi{200} \mathbb{I}=\left \{ 0,1,2,3,... \right \}

مجموعه اعداد صحیح

\dpi{200} \mathbb{Z}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}

مجموعه اعداد گویا

\dpi{200} \mathbb{Q}=\left \{ \frac{m}{n}|m,n\in \mathbb{Z},n\neq 0 \right \}

مجموعه اعداد گنگ

\dpi{200} {\mathbb{Q}}'=\mathbb{R}-\mathbb{Q}

مجموعه اعداد حقیقی

\dpi{200} \mathbb{R}=\mathbb{Q}\bigcup {\mathbb{Q}}'

مجموعه اعداد مختلط

\dpi{200} \mathbb{C}=\left \{ a+ib|a,b\in \mathbb{R},i=\sqrt{-1} \right \}


خواص اعمال در مجموعه ی اعداد حقیقی:

الف) جمع:

۱-بسته بودن مجموعه \dpi{200} \mathbb{R}

\dpi{200} \forall a,b \in \mathbb{R}:a+b\in \mathbb{R}

۲-خاصیت جابجایی

\dpi{200} \forall a,b \in \mathbb{R}:a+b=b+a

۳-شرکت پذیری

\dpi{200} \forall a,b,c \in \mathbb{R}:(a+b)+c=a+(b+c)

۴-عضو خنثی

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R}:a+0=0+a=a

۵-وجود عضو قرینه

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R}:a+(-a)=-a+a=0

۶-قرینه ی قرینه ی هر عدد مساوی با خود آن عدد است

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R}:-(-a)=a

۷-قرینه ی مجموع دو عدد حقیقی مساوی است با مجموع قرینه های آنها

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R}:-(a+b)=-a+(-b)


تعریف تفاضل دو عدد حقیقی

ب) ضرب

۱-بسته بودن مجموعه \dpi{200} \mathbb{R}

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R}:ab\in \mathbb{R}

۲-خاصیت جابجایی

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R}:ab=ba

۳-شرکت پذیری

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R}:\left ( ab \right )c=a\left ( bc \right )

۴-عضو خنثی

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R}:a\times 1=1\times a=a

۵-وجود عضو وارون

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R},a\neq 0:a\times \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\times a=1

۶-توزیع پذیری ضرب نسبت به عمل جمع

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:\left\{\begin{matrix} a\left ( b+c \right )=ab+ac\\ \left ( a+b \right )c=ac+bc \end{matrix}\right.

۷-حاصل ضرب هر عدد حقیقی در صفر مساوی است با صفر

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R}:a\times 0=0\times a=0

۸- اگر یکی از دو عامل ضرب صفر باشد حاصل ضرب آنها صفر است و بالعکس

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R}:a=0 \vee b=0\Leftrightarrow ab=0

۹-وارون وارون هر عدد حقیقی مساوی است با خود آن عدد

\dpi{200} \forall a\in \mathbb{R},a\neq 0:\frac{1}{\frac{1}{a}}=a

۱۰-حاصل ضرب وارون های دو عدد مخالف با صفر مساوی است با وارون حاصل ضرب آنها

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R},a\neq 0,b\neq 0:\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}=\frac{1}{ab}

۱۱-

\dpi{200} \forall a,b\in \mathbb{R}:\left\{\begin{matrix} a\left ( -b \right )=-ab\\ \left ( -a \right )b=-ab\\ \left ( -a \right )\left ( -b \right )=ab\\ \end{matrix}\right.

۱۲-عمل ضرب نسبت به عمل تفریق توزیع پذیر است

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:\left\{\begin{matrix} \left a( b-c \right )=ab-ac\\ \left ( a-b \right )c=ac-bc\\ \end{matrix}\right.


خواص نامساوی ها

 ۱-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:a< b\vee a=b\vee b<a

۲-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:a<b\wedge b<c\Rightarrow a<c

۳-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:a<b\Rightarrow \left ( a+c \right )<\left ( b+c \right )

۴-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:a<b\Rightarrow \left ( a-c \right )<\left ( b-c \right )

۵-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R},c>0:a<b \Rightarrow ac<bc

۶-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R}:a<b<c \Rightarrow a<b \wedge b<c

۷-

\dpi{200} \forall a,b,c\in \mathbb{R},c<0:a<b \Rightarrow ac>bc

۸-

\dpi{200} \forall a,b,c,d\in \mathbb{R}:a<b \wedge c<d \Rightarrow \left ( a+c \right )<\left ( b+d \right )

۹-

\dpi{200} \forall a,b,c,d\in \mathbb{R}:0<a<b \wedge 0<c<d \Rightarrow ac<bd


 نامساوی های مهم

\dpi{200} \forall x,y,z\in \mathbb{R}

۱-

همواره \dpi{200} x^{2}\geqslant 0

۲-

اگر \dpi{200} x> 0 \Rightarrow x+\frac{1}{x}\geqslant 2

اگر \dpi{200} x=1 \Rightarrow x+\frac{1}{x}= 2

۳-

اگر \dpi{200} x<0 \Rightarrow x+\frac{1}{x}\leqslant -2

اگر \dpi{200} x=-1 \Rightarrow x+\frac{1}{x}=-2

نتیجه:

اگر \dpi{200} x \neq 0 آنگاه \dpi{200} \left | x+\frac{1}{x} \right |\geqslant 2

۴-

\dpi{200} x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant xy+yz+xz

۵-

\dpi{200} \frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}

۶-

\dpi{200} \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\geqslant \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}

2 thoughts on “مجموعه اعداد

پاسخ دهید

نشانی پست‌الکترونیک شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

شما می‌توانید از این دستورات HTML استفاده کنید: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>